Упр.30.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько целых чисел содержится в области значений функции у = (sin x + y/Scosx) + sin (x + пи/3) + 3?

Преобразуем выражение:

$$ y=(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3. $$

Представим сумму $$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$ в виде одной тригонометрической функции:

$$ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right). $$

Тогда

$$ y=4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3. $$

Положим

$$ t=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right), \qquad t\in[-1;1]. $$

Получаем квадратную функцию

$$ y=4t^2+t+3. $$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдём её минимум на отрезке $$[-1;1]$$.

Вершина параболы:

$$ t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot 4}=-\frac18. $$

Так как $$-\frac18\in[-1;1]$$, минимум достигается в вершине:

$$ y_{\min}=4\left(-\frac18\right)^2-\frac18+3=\frac{1}{16}-\frac{2}{16}+3=\frac{47}{16}. $$

Максимум на отрезке достигается на концах:

$$ y(-1)=4\cdot(-1)^2-1+3=6, $$

$$ y(1)=4\cdot 1^2+1+3=8. $$

Значит, область значений функции:

$$ \left[\frac{47}{16};\,8\right]. $$

Целые числа в этом промежутке: $$3,4,5,6,7,8$$.

Ответ

$$6$$