Упр.30.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а решением неравенства является любое действительное число х: a) 12 sin 2х — 35 cos 2х < 148а2; б) 35 sin 3х + 12 cos 3х > 18,5(а3 — 10)?

Подробный ответ

а) Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$ 12\sin 2x-35\cos 2x=37\sin(2x-t), $$
где
$$ \cos t=\frac{12}{37}, \qquad \sin t=\frac{35}{37}. $$
Тогда неравенство принимает вид
$$ 37\sin(2x-t)<148a^2, $$ или $$ \sin(2x-t)<4a^2. $$ Чтобы это неравенство было верно при любом действительном $x$, правая часть должна быть не меньше наибольшего значения функции $\sin$, то есть $$ 4a^2>1. $$
Отсюда
$$ a^2>\frac14, $$
$$ a<-\frac12 \quad \text{или} \quad a>\frac12. $$

б) Аналогично,
$$ 35\sin 3x+12\cos 3x=37\sin(3x+t), $$
где
$$ \cos t=\frac{35}{37}, \qquad \sin t=\frac{12}{37}. $$
Тогда
$$ 37\sin(3x+t)\ge 18{,}5(a^3-10), $$
или
$$ \sin(3x+t)\ge \frac12(a^3-10). $$
Чтобы неравенство выполнялось при любом $x$, правая часть должна быть не больше наименьшего значения функции $\sin$, то есть
$$ \frac12(a^3-10)\le -1. $$
Тогда
$$ a^3-10\le -2, $$
$$ a^3\le 8, $$
$$ a\le 2. $$