Упр.30.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3 sin х + 5 cos х < корень кубический210; б) корень3 sin х - 7 cos х > корень кубический390.

а) Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$ 3\sin x+5\cos x=\sqrt{34}\sin(x+t), $$
где
$$ \cos t=\frac{3}{\sqrt{34}},\qquad \sin t=\frac{5}{\sqrt{34}}. $$
Тогда
$$ \sqrt{34}\sin(x+t)\le \sqrt{34}. $$
Достаточно доказать, что
$$ \sqrt{34}\le \sqrt[3]{210}. $$
Возведём обе части в куб:
$$ 34\sqrt{34}\le 210. $$
Так как
$$ 34\sqrt{34}<35\cdot 6=210, $$ то неравенство верно при любых $x$.

б) Аналогично,
$$ \sqrt{3}\sin x-7\cos x=\sqrt{52}\sin(x-t), $$
где
$$ \cos t=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{52}},\qquad \sin t=\frac{7}{\sqrt{52}}. $$
Тогда
$$ \sqrt{52}\sin(x-t)\ge -\sqrt{52}. $$
Остаётся проверить, что
$$ -\sqrt{52}>-\sqrt[3]{390}, $$
то есть
$$ \sqrt{52}<\sqrt[3]{390}. $$ Возведём обе части в куб: $$ 52\sqrt{52}<390. $$ Так как $$ 52\sqrt{52}<52\cdot 5=260<390, $$ то неравенство также верно при любых $x$.

Ответ

а) верно при любых $x$; б) верно при любых $x$.