Упр.30.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство: a) 2 sin2 х + sin 2х < 2,5; б) 16 sin2 3х + 15 sin 6x = < 25.

а) Преобразуем левую часть:

$$ 2\sin^2 x+\sin 2x=2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+\sin 2x=1-\cos 2x+\sin 2x. $$

Используем формулу приведения к одной тригонометрической функции:

$$ 1-\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\,\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+1. $$

Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$ \sqrt{2}\,\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}<1{,}5. $$

Следовательно,

$$ 2\sin^2 x+\sin 2x<2{,}5. $$

Что и требовалось доказать.

б) Преобразуем выражение:

$$ 16\sin^2 3x+15\sin 6x=16\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}+15\sin 6x $$
$$ =8-8\cos 6x+15\sin 6x. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 15\sin 6x-8\cos 6x. $$

Представим эту сумму в виде одной тригонометрической функции:

$$ 15\sin 6x-8\cos 6x=17\sin(6x-t), $$

где $$\sin t=\frac{8}{17},\ \cos t=\frac{15}{17}.$$ Тогда

$$ 16\sin^2 3x+15\sin 6x=8+17\sin(6x-t). $$

Так как $$-1\le \sin(6x-t)\le 1,$$ то

$$ 8+17\sin(6x-t)\le 8+17=25. $$

Значит,

$$ 16\sin^2 3x+15\sin 6x\le 25. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$2\sin^2 x+\sin 2x<2{,}5$$; б) $$16\sin^2 3x+15\sin 6x\le 25$$.