Упр.30.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений: a) 5 sin 2х + 12 cos 2х = 2а — 1; б) 3 cos x/2 — 4 sin x/2 + 1 = а2?

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть к виду одной тригонометрической функции:

$$ 5\sin 2x+12\cos 2x=\sqrt{5^2+12^2}\,\sin(2x+t)=13\sin(2x+t), $$
где
$$ \sin t=\frac{12}{13}, \qquad \cos t=\frac{5}{13}. $$
Тогда уравнение принимает вид
$$ 13\sin(2x+t)=2a-1, $$
или
$$ \sin(2x+t)=\frac{2a-1}{13}. $$
Чтобы уравнение имело решения, нужно
$$ -1\le \frac{2a-1}{13}\le 1. $$
Отсюда
$$ -13\le 2a-1\le 13, $$
$$ -12\le 2a\le 14, $$
$$ -6\le a\le 7. $$
Значит, решений нет при
$$ a<-6 \quad \text{или} \quad a>7. $$

б) Аналогично преобразуем левую часть:

$$ 3\cos \frac{x}{2}-4\sin \frac{x}{2}+1=a^2, $$
$$ 4\sin \frac{x}{2}-3\cos \frac{x}{2}=1-a^2. $$
Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:
$$ 5\sin\left(\frac{x}{2}-t\right)=1-a^2, $$
где
$$ \sin t=\frac{3}{5}, \qquad \cos t=\frac{4}{5}. $$
Тогда
$$ \sin\left(\frac{x}{2}-t\right)=\frac{1-a^2}{5}. $$
Чтобы уравнение имело решения, необходимо
$$ -1\le \frac{1-a^2}{5}\le 1. $$
Отсюда
$$ -5\le 1-a^2\le 5, $$
$$ -6\le -a^2\le 4, $$
$$ 0\le a^2\le 6. $$
Следовательно,
$$ -\sqrt6\le a\le \sqrt6. $$
Значит, решений нет при
$$ a<-\sqrt6 \quad \text{или} \quad a>\sqrt6. $$