Упр.30.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) корень3 sin х + cos х > 1; б) 3 sin х — 4 cos х < 2,5.

а) Преобразуем левую часть к виду одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\frac12.$$

Для синуса это выполняется при

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{6}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Вычитая $$\frac{\pi}{6}$$, получаем

$$2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично представим левую часть в виде одной функции:

$$3\sin x-4\cos x=5\sin\left(x-\arcsin\frac45\right).$$

Тогда

$$5\sin\left(x-\arcsin\frac45\right)<2{,}5,$$

$$\sin\left(x-\arcsin\frac45\right)<\frac12.$$

Неравенство $$\sin t<\frac12$$ выполняется при

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Подставляя $$t=x-\arcsin\frac45$$, получаем

$$\arcsin\frac45-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\arcsin\frac45+\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\text{а) } 2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

$$\text{б) } \arcsin\frac45-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\arcsin\frac45+\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$