Упр.30.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (sin х + корень3 cos х)2 — 5 = cos (пи/6 — x); б) (корень3 sin х — cos х)2 + 1 = 4 cos (x + пи/3).

Подробный ответ

а)

$$ (\sin x+\sqrt3\cos x)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right) $$
$$ \sin x+\sqrt3\cos x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) $$
Тогда
$$ 4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right) $$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$ получаем
$$ 4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-5=0. $$
Положим
$$ y=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right). $$
Тогда
$$ 4y^2-y-5=0. $$
$$ D=1+80=81,\qquad y_{1,2}=\frac{1\pm 9}{8}. $$
Отсюда
$$ y_1=-1,\qquad y_2=\frac54. $$
Значение $$\frac54$$ не подходит, так как $$\cos t\in[-1;1].$$
Значит,
$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1. $$
Тогда
$$ x-\frac{\pi}{6}=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z, $$
$$ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n. $$

б)

$$ (\sqrt3\sin x-\cos x)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$
$$ \sqrt3\sin x-\cos x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$
Следовательно,
$$ 4\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right). $$
Пусть
$$ t=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right). $$
Тогда
$$ 4t^2-4t+1=0, $$
$$ (2t-1)^2=0, $$
$$ t=\frac12. $$
Значит,
$$ \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. $$
Тогда
$$ x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
Отсюда
$$ x=2\pi n $$
или
$$ x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n. $$