Упр.30.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3 sin х + 4 cos х; б) 5 cos х — 12 sin; в) 7 sin х — 24 cos х; г) 8 cos х + 15 sin х.

1. Представим выражение вида $$A\sin x+B\cos x$$ в виде $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x-t)$$, где $$C=\sqrt{A^2+B^2}$$.

   а) $$3\sin x+4\cos x$$

   $$C=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$$
   $$\cos t=\frac{3}{5},\quad \sin t=\frac{4}{5}$$
   $$3\sin x+4\cos x=5\sin\left(x+\arcsin\frac45\right)$$
   также
   $$3\sin x+4\cos x=5\cos\left(x-\arccos\frac45\right)$$

2. б) $$5\cos x-12\sin x$$

   $$5\cos x-12\sin x=-(12\sin x-5\cos x)$$
   $$C=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13$$
   $$\cos t=\frac{5}{13},\quad \sin t=\frac{12}{13}$$
   $$5\cos x-12\sin x=-13\sin\left(x-\arccos\frac{12}{13}\right)$$
   также
   $$5\cos x-12\sin x=13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right)$$

3. в) $$7\sin x-24\cos x$$

   $$C=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25$$
   $$\cos t=\frac{7}{25},\quad \sin t=\frac{24}{25}$$
   $$7\sin x-24\cos x=25\sin\left(x-\arccos\frac{7}{25}\right)$$
   также
   $$7\sin x-24\cos x=-25\cos\left(x+\arcsin\frac{7}{25}\right)$$

4. г) $$8\cos x+15\sin x$$

   $$8\cos x+15\sin x=15\sin x+8\cos x$$
   $$C=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=17$$
   $$\cos t=\frac{8}{17},\quad \sin t=\frac{15}{17}$$
   $$8\cos x+15\sin x=17\sin\left(x+\arcsin\frac{8}{17}\right)$$
   также
   $$8\cos x+15\sin x=17\cos\left(x-\arccos\frac{8}{17}\right)$$

Ответ

а) $$5\sin\left(x+\arcsin\frac45\right)$$ или $$5\cos\left(x-\arccos\frac45\right)$$;
б) $$-13\sin\left(x-\arccos\frac{12}{13}\right)$$ или $$13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right)$$;
в) $$25\sin\left(x-\arccos\frac{7}{25}\right)$$ или $$-25\cos\left(x+\arcsin\frac{7}{25}\right)$$;
г) $$17\sin\left(x+\arcsin\frac{8}{17}\right)$$ или $$17\cos\left(x-\arccos\frac{8}{17}\right)$$.