Упр.30.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 sin 17x + корень3 cos 5х + sin 5х = 0; б) 5 sin х — 12 cos x + 13 sin 3x = 0.

а)

$$2\sin 17x+\sqrt3\cos 5x+\sin 5x=0$$
$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$2\cdot 2\sin\frac{17x+5x+\frac{\pi}{3}}{2}\cdot \cos\frac{17x-5x-\frac{\pi}{3}}{2}=0$$
$$\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)\cdot \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0$$

$$11x+\frac{\pi}{6}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11}$$

$$6x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$6x=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6}$$

б)

$$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$
$$13\sin\left(x-\arccos\frac{5}{13}\right)+13\sin 3x=0$$
$$\sin\left(x-\arccos\frac{5}{13}\right)+\sin 3x=0$$

Применим формулу суммы синусов:

$$2\sin\frac{x-\arccos\frac{5}{13}+3x}{2}\cdot \cos\frac{x-\arccos\frac{5}{13}-3x}{2}=0$$
$$\sin\left(2x-\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)\cdot \cos\left(x+\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\left(2x-\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)=0$$

$$2x-\frac12\arccos\frac{5}{13}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2}$$

$$x+\frac12\arccos\frac{5}{13}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11},\ \ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$