Упр.30.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 2х — cos 2х = корень2 sin 3x; б) кореньз sin х — cos х = 2 cos 3x; в) sin 5х + cos 5х = корень2 cos х; г) sin 2х + корень3 cos 2х = 2 sin 4х.

1. а) $$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt2\sin 3x$$

   Представим левую часть в виде одной синусоиды:

   $$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin 3x,$$

   $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 3x.$$

   Отсюда

   $$ \begin{cases} 2x-\frac{\pi}{4}=3x+2\pi n,\\ 2x-\frac{\pi}{4}=\pi-3x+2\pi n \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z. $$

   Решая, получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{5}.$$

2. б) $$\sqrt3\sin x-\cos x=2\cos 3x$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sqrt3\sin x-\cos x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos 3x,$$

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x.$$

   Следовательно,

   $$ \begin{cases} x+\frac{\pi}{3}=3x+2\pi n,\\ x+\frac{\pi}{3}=-3x+2\pi n \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z. $$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

3. в) $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt2\cos x$$

   Запишем левую часть как одну косинусоиду:

   $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt2\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos x.$$

   Отсюда

   $$ \begin{cases} 5x-\frac{\pi}{4}=x+2\pi n,\\ 5x-\frac{\pi}{4}=-x+2\pi n \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z. $$

   Получаем:

   $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{3},$$

   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}.$$

4. г) $$\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=2\sin 4x$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin 4x,$$

   $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin 4x.$$

   Следовательно,

   $$ \begin{cases} 2x+\frac{\pi}{3}=4x+2\pi n,\\ 2x+\frac{\pi}{3}=\pi-4x+2\pi n \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z. $$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$