Упр.30.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 4 sin х — 3 cos х = 5; б) 3 sin 2x + 4 cos 2х = 2,5; в) 12 sin х + 5 cos х + 13 = 0; г) 5 cos x/2 — 12 sin x/2 = 6,5.
а)
$$4\sin x-3\cos x=5$$
$$\sqrt{4^2+3^2}=5$$
$$4\sin x-3\cos x=5\sin\left(x-\arccos\frac45\right)$$
Тогда
$$5\sin\left(x-\arccos\frac45\right)=5,$$
$$\sin\left(x-\arccos\frac45\right)=1.$$
Отсюда
$$x-\arccos\frac45=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n.$$б)
$$3\sin 2x+4\cos 2x=2{,}5$$
$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$
$$3\sin 2x+4\cos 2x=5\sin\left(2x+\arccos\frac35\right)$$
Тогда
$$5\sin\left(2x+\arccos\frac35\right)=\frac52,$$
$$\sin\left(2x+\arccos\frac35\right)=\frac12.$$
Следовательно,
$$2x+\arccos\frac35=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2}.$$в)
$$12\sin x+5\cos x+13=0$$
$$12\sin x+5\cos x=-13$$
$$\sqrt{12^2+5^2}=13$$
$$12\sin x+5\cos x=13\cos\left(x-\arccos\frac5{13}\right)$$
Тогда
$$13\cos\left(x-\arccos\frac5{13}\right)=-13,$$
$$\cos\left(x-\arccos\frac5{13}\right)=-1.$$
Отсюда
$$x-\arccos\frac5{13}=\pi+2\pi n,$$
$$x=\pi+\arccos\frac5{13}+2\pi n.$$г)
$$5\cos\frac x2-12\sin\frac x2=6{,}5$$
$$5\cos\frac x2-12\sin\frac x2=\frac{13}{2}$$
$$12\sin\frac x2-5\cos\frac x2=-\frac{13}{2}$$
$$\sqrt{12^2+5^2}=13$$
$$12\sin\frac x2-5\cos\frac x2=13\cos\left(\frac x2+\arccos\frac5{13}\right)$$
Тогда
$$13\cos\left(\frac x2+\arccos\frac5{13}\right)=-\frac{13}{2},$$
$$\cos\left(\frac x2+\arccos\frac5{13}\right)=-\frac12.$$
Следовательно,
$$\frac x2+\arccos\frac5{13}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm\frac{4\pi}{3}-2\arccos\frac5{13}+4\pi n.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n,$$
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2},$$
в) $$x=\pi+\arccos\frac5{13}+2\pi n,$$
г) $$x=\pm\frac{4\pi}{3}-2\arccos\frac5{13}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
