Упр.30.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) cos 2x + корень3 sin 2x = корень2; б) sin 5x — cos 5x = корень6 / 2; в) cos x/2 — корень3 sin x/2 + 1 = 0; г) sin x/3 + cos x/3 = 1.

1. $$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x=\sqrt2.$$

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt2,$$

   $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$2x+\frac{\pi}{6}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 5x-\cos 5x=\frac{\sqrt6}{2}.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin 5x-\cos 5x=\sqrt2\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt2\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt6}{2},$$

   $$\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Значит,

   $$5x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}+1=0.$$

   Перенесём единицу вправо:

   $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}=-1.$$

   Представим левую часть в виде одной косинусоиды:

   $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

   $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Получаем

   $$x=-2\pi+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=1.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=\sqrt2\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt2\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=6\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=-2\pi+4\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=6\pi n,\ \frac{3\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$