Упр.30.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) корень3 sin х + cos х = 1; б) sin х + cos х = корень2; в) sin х — корень3 cos x = корень3; г) sin х — cos х = 1

1. $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$$

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$$

   Запишем левую часть как одну функцию:

   $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},$$

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

   Следовательно,

   $$x-\frac{\pi}{4}=2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$$

   Представим левую часть в виде одной функции:

   $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x-\cos x=1$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.