Упр.30.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = f(x) равно наименьшему значению функции У = g(x): a) f(x) = 7 sin 5х — 24 cos 5х + а — 1, g(x) = 3 — 2 cos 4х; б) f(x) = 9 sin (х — 2) + 12 cos (x — 2) — 5 — а, g(x) = 2 + 7 sin (2х + 1)?
Используем формулу:
$$A\sin t+B\cos t=\sqrt{A^2+B^2}\sin(t+\varphi),$$
поэтому наибольшее значение выражения с синусом равно амплитуде, а наименьшее значение выражения с косинусом равно минус амплитуде.
$$f(x)=7\sin 5x-24\cos 5x+a-1,$$
$$\sqrt{7^2+24^2}=25,$$
значит, $$f_{\max}=25+a-1=a+24.$$
Для функции
$$g(x)=3-2\cos 4x$$
наименьшее значение равно
$$g_{\min}=3-2\cdot 1=1.$$
По условию $$f_{\max}=g_{\min},$$ значит
$$a+24=1,$$
$$a=-23.$$
$$f(x)=9\sin(x-2)+12\cos(x-2)-5-a,$$
$$\sqrt{9^2+12^2}=15,$$
значит, $$f_{\max}=15-5-a=10-a.$$
Для функции
$$g(x)=2+7\sin(2x+1)$$
наименьшее значение равно
$$g_{\min}=2-7=-5.$$
По условию $$f_{\max}=g_{\min},$$ значит
$$10-a=-5,$$
$$a=15.$$
Ответ
а) $$-23$$; б) $$15$$.
