Упр.30.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каком значении параметра а наименьшее заданной функции равно числу m: a) у = -9 sin 1,4x — 12 cos 1,4x + а, m = 1; б) у = 3,5 sin 0,2x — 12 cos 0,2x + а, m = -1?

Используем формулу:

$$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+t),$$

где $$\sqrt{A^2+B^2}$$ — амплитуда, а наименьшее значение выражения равно $$-\,\sqrt{A^2+B^2}$$.

1. $$y=-9\sin 1{,}4x-12\cos 1{,}4x+a,\quad m=1.$$

   Тогда

   $$-9\sin 1{,}4x-12\cos 1{,}4x=-15\sin(1{,}4x+t),$$

   поскольку

   $$\sqrt{(-9)^2+(-12)^2}=\sqrt{81+144}=15.$$

   Значит, наименьшее значение функции равно

   $$-15+a.$$

   По условию это число $$1$$, поэтому

   $$-15+a=1,$$

   $$a=16.$$

2. $$y=3{,}5\sin 0{,}2x-12\cos 0{,}2x+a,\quad m=-1.$$

   Амплитуда равна

   $$\sqrt{3{,}5^2+(-12)^2}=\sqrt{12{,}25+144}=\sqrt{156{,}25}=12{,}5.$$

   Следовательно, наименьшее значение функции равно

   $$-12{,}5+a.$$

   По условию это число $$-1$$, значит

   $$-12{,}5+a=-1,$$

   $$a=11{,}5.$$

Ответ

а) $$16$$; б) $$11{,}5$$.