Упр.30.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каком значении параметра а наибольшее значение заданной функции равно числу М: a) у = 6 sin 1,5x — 8 cos 1,5x + а, М = 17; б) у = 7 sin 0,3x + 24 cos 0,3x + а, М = -17?

Используем формулу приведения линейной комбинации синуса и косинуса к одному синусу:

$$A\sin t+B\cos t=\sqrt{A^2+B^2}\sin(t+\varphi),$$

где амплитуда равна $$\sqrt{A^2+B^2}.$$ Тогда наибольшее значение функции равно сумме этой амплитуды и параметра $$a.$$

1. $$y=6\sin 1{,}5x-8\cos 1{,}5x+a,\quad M=17.$$

   Амплитуда:

   $$\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$10+a.$$ По условию:

   $$10+a=17,$$

   $$a=7.$$

2. $$y=7\sin 0{,}3x+24\cos 0{,}3x+a,\quad M=-17.$$

   Амплитуда:

   $$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25.$$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$25+a.$$ По условию:

   $$25+a=-17,$$

   $$a=-42.$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$-42$$.