Упр.30.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = cos х — корень3 sin х + 2корень3 COS (пи/6 — x); б) у = cos 2х + sin 2х — корень7 sin (пи/4 — 2x).

1. а)

   $$y=\cos x-\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

   Преобразуем выражение $$\cos x-\sqrt{3}\sin x$$ к виду одной косинусоиды:
   $$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Также
   $$2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=2\sqrt{3}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда
   $$y=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+2\sqrt{3}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   После приведения к одной тригонометрической функции получаем:
   $$y=-4\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то
   $$-4\le -4\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le 4.$$

2. б)

   $$y=\cos 2x+\sin 2x-\sqrt{7}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right).$$

   Преобразуем первые два слагаемых:
   $$\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Кроме того,
   $$-\sqrt{7}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sqrt{7}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда
   $$y=\sqrt{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{7}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Это выражение можно представить в виде одной синусоиды:
   $$y=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}+t\right),$$
   где $$t$$ — некоторый угол.

   Следовательно,
   $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}+t\right)\le 1,$$
   значит
   $$-3\le y\le 3.$$

Ответ

а) $$[-4;4]$$; б) $$[-3;3]$$.