Упр.30.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: a) y = cos х — 2 sin х — 1; б) y = |5 sin х + 12 cos х — 17|; в) y = 3 cos x + 4 sin — — 5; г) y = |7 sin 2х — 24 cos 2х| + 15.

1. а) $$y=\cos x-2\sin x-1.$$

   Представим сумму в виде одной синусоиды:

   $$\cos x-2\sin x=\sqrt5\sin(x-t),$$

   где $$\sqrt5\cos t=1,\quad \sqrt5\sin t=-2.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt5\sin(x-t)-1.$$

   Так как $$-1\le \sin(x-t)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt5-1\le y\le \sqrt5-1.$$

2. б) $$y=\left|5\sin x+12\cos x-17\right|.$$

   Имеем

   $$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+t),$$

   поэтому

   $$y=\left|13\sin(x+t)-17\right|.$$

   Так как $$-1\le \sin(x+t)\le 1,$$ то

   $$-13\le 13\sin(x+t)\le 13,$$

   $$-30\le 13\sin(x+t)-17\le -4.$$

   Следовательно,

   $$4\le \left|13\sin(x+t)-17\right|\le 30.$$

3. в) $$y=3\cos\frac{x}{2}+4\sin\frac{x}{2}-5.$$

   Представим тригонометрическую сумму в виде одной функции:

   $$3\cos\frac{x}{2}+4\sin\frac{x}{2}=5\sin\left(\frac{x}{2}+t\right),$$

   значит

   $$y=5\sin\left(\frac{x}{2}+t\right)-5.$$

   Так как $$-1\le \sin\left(\frac{x}{2}+t\right)\le 1,$$ то

   $$-10\le y\le 0.$$

4. г) $$y=\left|7\sin 2x-24\cos 2x\right|+15.$$

   Запишем сумму в виде одной синусоиды:

   $$7\sin 2x-24\cos 2x=25\sin(2x-t),$$

   следовательно,

   $$y=\left|25\sin(2x-t)\right|+15.$$

   Так как $$-1\le \sin(2x-t)\le 1,$$ то

   $$0\le \left|25\sin(2x-t)\right|\le 25,$$

   откуда

   $$15\le y\le 40.$$

Ответ

а) $$-\sqrt5-1;\ \sqrt5-1$$; б) $$4;\ 30$$; в) $$-10;\ 0$$; г) $$15;\ 40$$.