Упр.30.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Преобразуйте данное выражение к виду С sin (х + t) или С cos (х + t): a) корень3 sin х + cos х; б) sin х + корень3 cos х; в) sin х — cos х; г) 2 sin х — корень12 cos х.

1. а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x$$

   Представим в виде $$C\sin(x+t)$$:

   $$C=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2.$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos t,\qquad \frac{1}{2}=\sin t,$$

   откуда $$t=\frac{\pi}{6}.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

2. б) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$

   Представим в виде $$C\sin(x+t)$$:

   $$C=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{2}=\cos t,\qquad \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin t,$$

   откуда $$t=\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

3. в) $$\sin x-\cos x$$

   Представим в виде $$C\sin(x+t)$$:

   $$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos t,\qquad -\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin t,$$

   откуда $$t=-\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

4. г) $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x$$

   Так как $$\sqrt{12}=2\sqrt{3},$$ получаем

   $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=2\sin x-2\sqrt{3}\cos x.$$

   Представим в виде $$C\sin(x+t)$$:

   $$C=\sqrt{2^2+(\sqrt{12})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.$$

   Тогда

   $$\frac{2}{4}=\cos t,\qquad -\frac{\sqrt{12}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin t,$$

   откуда $$t=-\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Ответ

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right),$$
$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),$$
$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$
$$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$