Упр.3.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен:

1. Если один из корней квадратного уравнения равен $$x=\sqrt{2},$$ то вторым корнем можно взять $$x=-\sqrt{2}.$$ Тогда уравнение имеет вид

   $$\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0,$$

   откуда

   $$x^2-2=0.$$

2. Если один из корней равен $$x=\sqrt{3}-5,$$ то вторым корнем можно взять $$x=-\sqrt{3}-5.$$ Тогда

   $$\left(x-\left(\sqrt{3}-5\right)\right)\left(x+\sqrt{3}+5\right)=0.$$

   Сумма корней:

   $$\left(\sqrt{3}-5\right)+\left(-\sqrt{3}-5\right)=-10,$$

   произведение корней:

   $$\left(\sqrt{3}-5\right)\left(-\sqrt{3}-5\right)=22.$$

   Следовательно,

   $$x^2+10x+22=0.$$

3. Если один из корней равен $$x=\sqrt{5}-2,$$ то вторым корнем можно взять $$x=-\sqrt{5}-2.$$ Тогда

   $$\left(x-\left(\sqrt{5}-2\right)\right)\left(x+\sqrt{5}+2\right)=0,$$

   и после раскрытия скобок получаем

   $$x^2+4x-1=0.$$

4. Для $$x=\sqrt{3}-\sqrt{8}$$ составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами нельзя, так как при возведении в квадрат появляется число $$\sqrt{24},$$ и целые коэффициенты не получаются.

Ответ

а) $$x^2-2=0$$;

б) $$x^2+10x+22=0$$;

в) $$x^2+4x-1=0$$;

г) такого уравнения не существует.