Упр.3.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел, таких, что одновременно: а) их сумма и разность — рациональные числа; б) их произведение и частное — рациональные числа.

а) Пусть $$a$$ и $$b$$ — иррациональные числа, причём их сумма и разность рациональны:

$$a+b=r,\quad a-b=k,$$

где $$r\in \mathbb{Q}$$, $$k\in \mathbb{Q}$$.

Сложим эти равенства:

$$2a=r+k,$$

откуда

$$a=\frac{r+k}{2}\in \mathbb{Q}.$$

Получили противоречие с тем, что $$a$$ иррационально. Значит, таких чисел не существует.

б) Возьмём, например,

$$a=\sqrt{338},\quad b=\sqrt{2}.$$

Оба числа иррациональны, так как $$338$$ и $$2$$ не являются полными квадратами.

Проверим произведение:

$$ab=\sqrt{338}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{676}=26,$$

это рациональное число.

Проверим частное:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{338}{2}}=\sqrt{169}=13,$$

это тоже рациональное число.

Ответ

а) таких чисел нет; б) $$\sqrt{338}$$ и $$\sqrt{2}$$.