Упр.3.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Каким числом, рациональным или иррациональным, является: а) сумма рационального и иррационального чисел; б) разность рационального и иррационального чисел; в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа; г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

Пусть $$q$$ и $$r$$ — рациональные числа, а $$i$$ — иррациональное число.

1. Сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональной. Действительно, если бы $$q+i=r$$, где $$r$$ — рациональное число, то тогда

   $$i=r-q,$$

   а разность рациональных чисел рациональна. Получили бы противоречие.

2. Разность рационального и иррационального чисел также не может быть рациональной. Если бы $$q-i=r,$$ где $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=q-r,$$

   то есть иррациональное число оказалось бы рациональным, что невозможно.

3. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа не может быть рациональным. Если бы $$q\cdot i=r,$$ где $$q\neq 0$$ и $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=\frac{r}{q},$$

   а частное рациональных чисел рационально. Противоречие.

4. Частное ненулевого рационального числа и иррационального числа не может быть рациональным. Если бы $$\frac{q}{i}=r,$$ где $$q\neq 0$$ и $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=\frac{q}{r},$$

   что снова дало бы рациональное число вместо иррационального. Противоречие.

Ответ

Во всех случаях — иррациональным числом.