Упр.3.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Пусть $$\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь, где $$p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N},\ q>1.$$ Тогда число $$\left(\frac{p}{q}\right)^n$$ рационально.
Предположим, что $$\left(\frac{p}{q}\right)^n = r,$$ где $$r \in \mathbb{Z}.$$ Тогда
$$\frac{p^n}{q^n}=r \;\Rightarrow\; p^n=rq^n.$$
Из этого следует, что $$q^n \mid p^n,$$ а значит, $$q \mid p,$$ что противоречит несократимости дроби $$\frac{p}{q}.$$
Следовательно, $$\left(\frac{p}{q}\right)^n$$ не может быть целым числом, значит, оно является несократимой дробью.
Пусть $$a^n$$ — целое число. Докажем, что тогда $$a$$ либо целое, либо иррациональное.
Если $$a \in \mathbb{Z},$$ то утверждение верно. Если же $$a=\sqrt{2},$$ то $$a^4=(\sqrt{2})^4=4 \in \mathbb{Z}.$$ Значит, возможен и иррациональный случай.
Предположим, что $$a$$ — рациональное, но не целое число. Тогда $$a=\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь, где $$q>1.$$ Из условия
$$a^n=\left(\frac{p}{q}\right)^n=r,\quad r\in\mathbb{Z}$$
получаем
$$p^n=rq^n.$$
Отсюда, как и в пункте а), следует, что $$q \mid p,$$ что невозможно для несократимой дроби. Противоречие.
Значит, $$a$$ либо целое, либо иррациональное.
Докажем иррациональность числа $$\sqrt[3]{21}.$$
Если бы $$\sqrt[3]{21}$$ было рациональным, то по пунктам а) и б) оно могло бы быть только целым числом. Тогда его куб тоже был бы кубом целого числа.
Но
$$\left(\sqrt[3]{21}\right)^3=21,$$
а число $$21$$ не является кубом целого числа, так как
$$21=3\cdot 7.$$
Следовательно, $$\sqrt[3]{21}$$ не может быть целым, а значит, оно иррационально.