Упр.3.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа:

1. $$5\sqrt{2}$$

   Допустим, что $$5\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$$. Тогда

   $$5\sqrt{2}=k,\quad k\in \mathbb{Q}.$$

   Отсюда

   $$\sqrt{2}=\frac{k}{5}\in \mathbb{Q},$$

   что противоречит тому, что $$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$$. Значит, $$5\sqrt{2}$$ — иррациональное число.

2. $$-7\sqrt{3}$$

   Допустим, что $$-7\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$$. Тогда

   $$-7\sqrt{3}=k,\quad k\in \mathbb{Q}.$$

   Отсюда

   $$\sqrt{3}=-\frac{k}{7}\in \mathbb{Q},$$

   что противоречит тому, что $$\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$$. Следовательно, $$-7\sqrt{3}$$ — иррациональное число.

3. $$5(1-\sqrt{3})$$

   Допустим, что $$5(1-\sqrt{3})\in \mathbb{Q}$$. Тогда

   $$5(1-\sqrt{3})=k,\quad k\in \mathbb{Q}.$$

   Отсюда

   $$1-\sqrt{3}=\frac{k}{5}\in \mathbb{Q},$$

   а значит, $$\sqrt{3}=1-\frac{k}{5}\in \mathbb{Q},$$

   что невозможно. Следовательно, $$5(1-\sqrt{3})$$ — иррациональное число.

4. $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}$$

   Допустим, что

   $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}\in \mathbb{Q}.$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}=k,\quad k\in \mathbb{Q},$$

   откуда

   $$\sqrt{3}+\sqrt{15}=12k\in \mathbb{Q}.$$

   Но по результату задания 3.1 число $$\sqrt{3}+\sqrt{15}$$ иррационально. Противоречие. Значит,

   $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}$$

   — иррациональное число.

Ответ

$$5\sqrt{2},\ -7\sqrt{3},\ 5(1-\sqrt{3}),\ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}$$ — иррациональные числа.