Упр.3.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Докажите, что для любого иррационального числа а, найдется такое рациональное число P, что произведение ар — рациональное число. б) Докажите, что если точка (x; у) лежит на прямой у = kx + b, где k =/0, b — рациональные числа, то числа x и у или оба рациональные, или оба иррациональные.

а) Возьмём любое рациональное число $$k$$ и положим

$$\beta=\frac{k}{\alpha}.$$

Если бы $$\beta$$ оказалось рациональным, то из равенства

$$\alpha=\frac{k}{\beta}$$

следовало бы, что $$\alpha$$ — рациональное число. Это противоречит условию. Значит, $$\beta$$ — иррациональное число.

При этом

$$\alpha\beta=\alpha\cdot\frac{k}{\alpha}=k\in\mathbb{Q}.$$

Следовательно, для любого иррационального числа $$\alpha$$ найдётся иррациональное число $$\beta$$ такое, что произведение $$\alpha\beta$$ — рационально.

б) Пусть точка $$\left(x;y\right)$$ лежит на прямой $$y=kx+b$$, где $$k\neq 0$$, $$b\in\mathbb{Q}$$.

Докажем, что числа $$x$$ и $$y$$ либо оба рациональные, либо оба иррациональные.

Если $$x\in\mathbb{Q}$$, то

$$y=kx+b\in\mathbb{Q},$$

так как $$k\in\mathbb{Q}$$ и $$b\in\mathbb{Q}$$.

Если же $$x\notin\mathbb{Q}$$, а $$y\in\mathbb{Q}$$, то из уравнения прямой получаем

$$kx=y-b,$$

откуда

$$x=\frac{y-b}{k}\in\mathbb{Q},$$

что противоречит предположению $$x\notin\mathbb{Q}$$.

Значит, невозможна ситуация, когда одно из чисел рационально, а другое иррационально. Следовательно, $$x$$ и $$y$$ либо оба рациональные, либо оба иррациональные.

Ответ

а) Существует иррациональное число $$\beta$$, для которого $$\alpha\beta\in\mathbb{Q}$$.
б) $$x$$ и $$y$$ либо оба рациональные, либо оба иррациональные.