Упр.3.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что существует такое иррациональное число а, что число с является натуральным:
а) Пусть $$c=a+\frac{1}{a}.$$ Тогда
$$ca=a^2+1,$$
$$a^2-ca+1=0.$$
Рассматривая это как квадратное уравнение относительно $$a,$$ получаем
$$D=c^2-4,$$
$$a=\frac{c\pm\sqrt{c^2-4}}{2}.$$
Возьмём, например, $$a=3-\sqrt{8}.$$ Это иррациональное число, и тогда
$$c=a+\frac{1}{a}=3-\sqrt{8}+\frac{1}{3-\sqrt{8}}.$$
Так как
$$\frac{1}{3-\sqrt{8}}=3+\sqrt{8},$$
то
$$c=(3-\sqrt{8})+(3+\sqrt{8})=6.$$
Следовательно, существует иррациональное число $$a,$$ при котором $$c$$ — натуральное.
б) Пусть $$c=a^2+a.$$ Тогда
$$a^2+a-c=0.$$
Рассматривая это как квадратное уравнение относительно $$a,$$ получаем
$$D=1+4c,$$
$$a=\frac{-1\pm\sqrt{1+4c}}{2}.$$
Возьмём, например, $$a=\frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$ Это иррациональное число, и тогда
$$c=a^2+a=\left(\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$
Вычислим:
$$c=\frac{13-2\sqrt{13}+1}{4}+\frac{2\sqrt{13}-2}{4}=\frac{12}{4}=3.$$
Значит, и в этом случае существует иррациональное число $$a,$$ при котором $$c$$ — натуральное.
Ответ
а) Например, $$a=3-\sqrt{8},\ c=6.$$
б) Например, $$a=\frac{\sqrt{13}-1}{2},\ c=3.$$
