Упр.3.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что найдется пара иррациональных чисел а и p таких, что: а) а2 — p — натуральное число; б) 2a2 + Зр — целое отрицательное число.

Докажем существование таких пар иррациональных чисел, приведя примеры.

1. Пусть $$\alpha=2+\sqrt{3}, \quad \beta=4\sqrt{3}.$$ Тогда оба числа иррациональны. Проверим:

   $$ \alpha^2-\beta=(2+\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=7. $$

   Получили натуральное число.

2. Пусть $$\alpha=3-\sqrt{2}, \quad \beta=4\sqrt{2}-20.$$ Тогда оба числа иррациональны. Проверим:

   $$ \alpha^2=(3-\sqrt{2})^2=9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2}. $$

   Тогда

   $$ 2\alpha^2+3\beta=2(11-6\sqrt{2})+3(4\sqrt{2}-20)=22-12\sqrt{2}+12\sqrt{2}-60=-38. $$

   Получили целое отрицательное число.

Ответ

Например, подходят пары:
а) $$\alpha=2+\sqrt{3}, \ \beta=4\sqrt{3};$$
б) $$\alpha=3-\sqrt{2}, \ \beta=4\sqrt{2}-20.$$