Упр.3.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите иррациональность числа:

Подробный ответ

$$\sqrt{2}$$.
Предположим, что $$\sqrt{2}$$ — рациональное число. Тогда $$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые целые числа, $$n\neq 0$$.
Возведём в квадрат:
$$ 2=\frac{m^2}{n^2}, \qquad m^2=2n^2. $$
Значит, $$m^2$$ — чётное число, следовательно, $$m$$ тоже чётное. Тогда $$m=2k$$ для некоторого целого $$k$$.
Подставим:
$$ (2k)^2=2n^2 \\ 4k^2=2n^2 \\ n^2=2k^2. $$
Отсюда $$n^2$$ чётно, значит, $$n$$ тоже чётно. Получаем, что $$m$$ и $$n$$ одновременно чётные, что противоречит их взаимной простоте.
Следовательно, $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число.
$$\sqrt{3}$$.
Предположим, что $$\sqrt{3}$$ — рациональное число. Тогда $$\sqrt{3}=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые целые числа, $$n\neq 0$$.
Возведём в квадрат:
$$ 3=\frac{m^2}{n^2}, \qquad m^2=3n^2. $$
Значит, $$m^2$$ делится на $$3$$, следовательно, $$m$$ делится на $$3$$. Пусть $$m=3k$$.
Тогда
$$ (3k)^2=3n^2 \\ 9k^2=3n^2 \\ n^2=3k^2. $$
Отсюда $$n^2$$ делится на $$3$$, значит, $$n$$ тоже делится на $$3$$. Получаем противоречие с взаимной простотой $$m$$ и $$n$$.
Следовательно, $$\sqrt{3}$$ — иррациональное число.
$$1-\sqrt{3}$$.
Предположим, что $$1-\sqrt{3}$$ — рациональное число. Тогда и
$$ \sqrt{3}=1-(1-\sqrt{3}) $$
тоже было бы рациональным числом, так как разность рациональных чисел рациональна.
Но выше доказано, что $$\sqrt{3}$$ — иррациональное число. Противоречие.
Следовательно, $$1-\sqrt{3}$$ — иррациональное число.
$$\sqrt{3}-\sqrt{15}$$.
Предположим, что $$\sqrt{3}-\sqrt{15}$$ — рациональное число. Обозначим его через $$r$$:
$$ \sqrt{3}-\sqrt{15}=r, \qquad r\in \mathbb{Q}. $$
Тогда
$$ \sqrt{15}=\sqrt{3}-r. $$
Правая часть — разность иррационального числа $$\sqrt{3}$$ и рационального числа $$r$$. Если бы $$\sqrt{3}-\sqrt{15}$$ было рациональным, то из равенства
$$ \sqrt{15}=\sqrt{3}-r $$
следовало бы, что $$\sqrt{15}$$ рационально тогда и только тогда, когда рационально $$\sqrt{3}$$, что невозможно, поскольку $$\sqrt{3}$$ иррационально, а $$\sqrt{15}$$ тоже иррационально.
Более строго: если бы $$\sqrt{3}-\sqrt{15}=r$$, то
$$ \sqrt{15}=\sqrt{3}-r. $$
Возведём в квадрат:
$$ 15=3-2r\sqrt{3}+r^2, $$
откуда
$$ 2r\sqrt{3}=r^2-12. $$
Если $$r\neq 0$$, то
$$ \sqrt{3}=\frac{r^2-12}{2r}, $$
то есть $$\sqrt{3}$$ рационально, что противоречит доказанному. Если же $$r=0$$, то $$\sqrt{3}=\sqrt{15}$$, что неверно.
Следовательно, $$\sqrt{3}-\sqrt{15}$$ — иррациональное число.