Упр.29.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 4 sin х sin (пи/3 — x) sin (пи/3 + x) = sin 3x; б) tg x tg (пи/3 — x) tg (пи/3 + x) = tg 3x.

1. Докажем тождество

   $$4\sin x\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x.$$

   Используем формулу

   $$2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$

   Тогда

   $$ 4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =2\sin x\left(\cos 2x-\cos\frac{2\pi}{3}\right). $$

   Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

   $$ 2\sin x\left(\cos 2x+\frac12\right) =2\sin x\cos 2x+\sin x. $$

   По формуле $$2\sin x\cos 2x=\sin(x+2x)+\sin(x-2x),$$ имеем

   $$ 2\sin x\cos 2x+\sin x =\sin 3x+\sin(-x)+\sin x =\sin 3x. $$

   Следовательно, тождество доказано.

2. Докажем тождество

   $$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\tg 3x.$$

   Запишем тангенсы через синус и косинус:

   $$ \tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \tg x\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)} {\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)}. $$

   Используем формулы произведения:

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac{\cos 2x-\cos\frac{2\pi}{3}}{2}, $$

   $$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac{\cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3}}{2}. $$

   Тогда

   $$ \tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \tg x\cdot \frac{\cos 2x+\frac12}{\cos 2x-\frac12}. $$

   Подставим $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ и преобразуем:

   $$ \tg x\cdot \frac{\cos 2x+\frac12}{\cos 2x-\frac12} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{2\cos 2x+1}{2\cos 2x-1}. $$

   Используя формулы

   $$2\cos 2x+1=\cos 3x+\cos x,\qquad 2\cos 2x-1=\cos 3x-\cos x,$$

   получаем

   $$ \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos 3x+\cos x}{\cos 3x-\cos x} =\frac{\sin 3x}{\cos 3x} =\tg 3x. $$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$4\sin x\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x$$; б) $$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\tg 3x$$.