Упр.29.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 х + cos (пи/3 — x) cos (пи/3 + x) = 1/4; б) 4 sin (пи/3 — x) sin (пи/3 + x) = 3 — 4 sin2 x.

а)

$$ \sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) $$

Используем формулу произведения косинусов:

$$ \cos A\cos B=\frac{\cos(A-B)+\cos(A+B)}{2} $$

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac{\cos(-2x)+\cos\frac{2\pi}{3}}{2} =\frac{\cos 2x-\frac12}{2} $$

Тогда

$$ \sin^2 x+\frac{\cos 2x-\frac12}{2} =\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\cos 2x-\frac12}{2} $$

$$ =\frac12\left(1-\cos 2x+\cos 2x-\frac12\right) =\frac12\cdot\frac12 =\frac14 $$

Тождество доказано.

б)

$$ 4\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) $$

Применим формулу произведения синусов:

$$ \sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2} $$

$$ 4\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =4\cdot\frac{\cos(-2x)-\cos\frac{2\pi}{3}}{2} $$

$$ =2\left(\cos 2x-\left(-\frac12\right)\right) =2\cos 2x+1 $$

Преобразуем правую часть:

$$ 3-4\sin^2 x=3-4\cdot\frac{1-\cos 2x}{2} =3-2+2\cos 2x =2\cos 2x+1 $$

Левая и правая части равны, значит тождество верно.

Ответ

а) тождество доказано; б) тождество доказано.