Упр.29.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t; б) sin a — 2sin (a/2 — 15°) cos (a/2 + 15°) = 1/2.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin t\sin 2t=\cos(t-2t)-\cos(t+2t)=\cos(-t)-\cos 3t=\cos t-\cos 3t.$$

Тогда

$$2\sin t\sin 2t+\cos 3t=(\cos t-\cos 3t)+\cos 3t=\cos t.$$

Тождество доказано.

б) Применим формулу произведения в сумму:

$$2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin\left(\left(\frac a2-15^\circ\right)+\left(\frac a2+15^\circ\right)\right)+\sin\left(\left(\frac a2-15^\circ\right)-\left(\frac a2+15^\circ\right)\right).$$

Отсюда

$$2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin a+\sin(-30^\circ)=\sin a-\sin 30^\circ.$$

Тогда левая часть равна

$$\sin a-\left(\sin a-\sin 30^\circ\right)=\sin 30^\circ=\frac12.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$2\sin t\sin 2t+\cos 3t=\cos t$$; б) $$\sin a-2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\frac12$$.