Упр.29.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin х sin у sin z; б) cos х cos у cos z.

Используем формулы произведения в сумму:

$$ \sin x \sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}, \qquad \cos x \cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2} $$

а)

$$ \sin x \sin y \sin z =\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}\sin z $$

$$ =\frac12\bigl(\sin z\cos(x-y)-\sin z\cos(x+y)\bigr) $$

Применим формулу

$$ \sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2} $$

$$ \sin x \sin y \sin z =\frac14\Bigl(\sin(z+x-y)+\sin(z-x+y)-\sin(z+x+y)-\sin(z-x-y)\Bigr) $$

$$ =\frac14\Bigl(\sin(x+y-z)+\sin(x+z-y)+\sin(y+z-x)-\sin(x+y+z)\Bigr) $$

б)

$$ \cos x \cos y \cos z =\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}\cos z $$

$$ =\frac12\bigl(\cos(x+y)\cos z+\cos(x-y)\cos z\bigr) $$

Используем формулу

$$ \cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2} $$

$$ \cos x \cos y \cos z =\frac14\Bigl(\cos(x+y+z)+\cos(x+y-z)+\cos(x+z-y)+\cos(x-y-z)\Bigr) $$

$$ =\frac14\Bigl(\cos(x+y+z)+\cos(x+y-z)+\cos(x+z-y)+\cos(x-y-z)\Bigr) $$

Ответ

$$ \sin x \sin y \sin z=\frac14\Bigl(\sin(x+y-z)+\sin(x+z-y)+\sin(y+z-x)-\sin(x+y+z)\Bigr) $$

$$ \cos x \cos y \cos z=\frac14\Bigl(\cos(x+y+z)+\cos(x+y-z)+\cos(x+z-y)+\cos(x-y-z)\Bigr) $$