Упр.29.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 10° cos 8° cos 6°; б) 4 sin 25° cos 15° sin 5°.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin 10^\circ \cos 8^\circ=\frac{\sin(10^\circ+8^\circ)+\sin(10^\circ-8^\circ)}{2}=\frac{\sin 18^\circ+\sin 2^\circ}{2}.$$

Тогда

$$\sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ=\frac{1}{2}\bigl(\sin 18^\circ \cos 6^\circ+\sin 2^\circ \cos 6^\circ\bigr).$$

Снова применим формулу произведения в сумму:

$$\sin 18^\circ \cos 6^\circ=\frac{\sin 24^\circ+\sin 12^\circ}{2},$$

$$\sin 2^\circ \cos 6^\circ=\frac{\sin 8^\circ-\sin 4^\circ}{2}.$$

Подставим:

$$\sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ=\frac{1}{4}\bigl(\sin 24^\circ+\sin 12^\circ+\sin 8^\circ-\sin 4^\circ\bigr).$$

б) Преобразуем произведение:

$$4\sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ=4\cdot \frac{\sin 40^\circ+\sin 10^\circ}{2}\cdot \sin 5^\circ=2(\sin 40^\circ \sin 5^\circ+\sin 10^\circ \sin 5^\circ).$$

Используем формулу произведения синусов:

$$\sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}.$$

Тогда

$$\sin 40^\circ \sin 5^\circ=\frac{\cos 35^\circ-\cos 45^\circ}{2},$$

$$\sin 10^\circ \sin 5^\circ=\frac{\cos 5^\circ-\cos 15^\circ}{2}.$$

Следовательно,

$$4\sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ=\cos 35^\circ-\cos 45^\circ+\cos 5^\circ-\cos 15^\circ.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{4}\bigl(\sin 24^\circ+\sin 12^\circ+\sin 8^\circ-\sin 4^\circ\bigr);$$

б) $$\cos 35^\circ-\cos 45^\circ+\cos 5^\circ-\cos 15^\circ.$$