Упр.29.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos x(y — 1)/2 cos x(y + 1)/2 = cos2 x/2; б) sin x(y + 1)/2 cos x(y — 1)/2 = cos2 (пи/4 — y/2).

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin(x+y)\cos y=\sin\bigl((x+y)+y\bigr)+\sin\bigl((x+y)-y\bigr).$$

Тогда

$$\sin(x+2y)+\sin x=\sin x,$$

откуда

$$\sin(x+2y)=0.$$

Следовательно,

$$x+2y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$y=-\frac12x+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично применим формулу произведения в сумму:

$$2\cos(x+y)\cos x=\cos\bigl((x+y)+x\bigr)+\cos\bigl((x+y)-x\bigr).$$

Тогда

$$\cos(2x+y)+\cos y=\cos y,$$

откуда

$$\cos(2x+y)=0.$$

Следовательно,

$$2x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$y=-2x+\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$y=-\frac12x+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=-2x+\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$