Упр.29.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos a sin (а + b); б) sin (60° + a) sin (60° — a); в) sin р cos (а + b); г) cos (a + пи/4) cos (a — пи/4).

1. $$\cos a\cdot \sin(a+\beta)=\sin(a+\beta)\cdot \cos a$$
   $$=\frac{\sin\big((a+\beta)+a\big)+\sin\big((a+\beta)-a\big)}{2}$$
   $$=\frac{1}{2}\big(\sin(2a+\beta)+\sin\beta\big).$$
2. $$\sin(60^\circ+a)\cdot \sin(60^\circ-a)$$
   $$=\frac{\cos\big((60^\circ+a)-(60^\circ-a)\big)-\cos\big((60^\circ+a)+(60^\circ-a)\big)}{2}$$
   $$=\frac{1}{2}\big(\cos 2a-\cos 120^\circ\big).$$
3. $$\sin\beta\cdot \cos(a+\beta)$$
   $$=\frac{\sin\big(\beta+(a+\beta)\big)+\sin\big(\beta-(a+\beta)\big)}{2}$$
   $$=\frac{1}{2}\big(\sin(a+2\beta)-\sin a\big).$$
4. $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$
   $$=\frac{\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)+\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)}{2}$$
   $$=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+\cos 2a\right)$$
   $$=\frac{1}{2}\cos 2a.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}\big(\sin(2a+\beta)+\sin\beta\big)$$;
б) $$\frac{1}{2}\big(\cos 2a-\cos 120^\circ\big)$$;
в) $$\frac{1}{2}\big(\sin(a+2\beta)-\sin a\big)$$;
г) $$\frac{1}{2}\cos 2a$$.