Упр.29.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график уравнения: a) 2 sin (x + у) cos у = sin х; б) 2 cos (х + у) cos х = cos у.
а) Преобразуем левую часть по формуле произведения синусов и косинусов:
$$ 2\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right) $$
$$ =\sin\left(\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)+\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right)+\sin\left(\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)-\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right) $$
$$ =\sin 2x+\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\sin 2x-\frac12. $$
Значит, уравнение задаёт график функции
$$ y=\left|\sin 2x-\frac12\right|. $$
Построение удобно выполнить так:
- строим график $$y=\sin x$$;
- сжимаем его к оси $$Oy$$ в 2 раза, получая $$y=\sin 2x$$;
- сдвигаем вниз на $$\frac12$$;
- часть графика, лежащую ниже оси $$Ox$$, отражаем относительно оси $$Ox$$.
б) Аналогично используем формулу:
$$ 2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) $$
$$ =\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)+\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right) $$
$$ =\cos 2x+\cos\frac{\pi}{3}=\cos 2x+\frac12. $$
Следовательно, график уравнения задаётся функцией
$$ y=-3\left|\cos 2x+\frac12\right|. $$
Построение:
- строим график $$y=\cos x$$;
- сжимаем его к оси $$Oy$$ в 2 раза, получая $$y=\cos 2x$$;
- сдвигаем вверх на $$\frac12$$;
- часть графика, лежащую выше оси $$Ox$$, отражаем относительно оси $$Ox$$;
- растягиваем полученный график вдоль оси $$Oy$$ в 3 раза.
Ответ
а) $$y=\left|\sin 2x-\frac12\right|$$;
б) $$y=-3\left|\cos 2x+\frac12\right|$$.
