Упр.29.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) y = 2|sin (x — 5пи/12) cos (x + 5пи/12)|; б) y = -3|cos ((3x + пи)/6) cos ((3x — пи)/6)|.

а) Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$ \sin A \cos B=\frac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr) $$

Пусть $$A=x-\frac{5\pi}{12}$$, $$B=x+\frac{5\pi}{12}$$. Тогда

$$ y=2\left|\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right| $$
$$ = \left|\sin\left(2x\right)+\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right| = \left|\sin 2x-\frac{1}{2}\right|. $$

Так как $$-1\le \sin 2x\le 1$$, то

$$ -\frac{3}{2}\le \sin 2x-\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}. $$

После модуля получаем значения функции от $$0$$ до $$\frac{3}{2}$$, значит

$$ y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\frac{3}{2}. $$

б) Аналогично применим формулу:

$$ \cos A\cos B=\frac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr) $$

где $$A=\frac{3x+\pi}{6}$$, $$B=\frac{3x-\pi}{6}$$. Тогда

$$ y=-3\left|\cos\frac{3x+\pi}{6}\cos\frac{3x-\pi}{6}\right| $$
$$ =-3\left|\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\right)\right| =-\frac{3}{2}\left|\frac{1}{2}+\cos x\right|. $$

Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

$$ -\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}+\cos x\le \frac{3}{2}. $$

Следовательно,

$$ 0\le \left|\frac{1}{2}+\cos x\right|\le \frac{3}{2}, $$
а значит

$$ -\frac{9}{4}\le y\le 0. $$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{3}{2}$$;
б) $$y_{\min}=-\frac{9}{4},\ y_{\max}=0$$.