Упр.29.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: a) y = sin (x + пи/8) cos (x — пи/24); б) y = sin (x — пи/3) sin (x + пи/3).

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right) = \frac12\left[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\frac{\pi}{6} \right]. $$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

$$ y=\frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac14. $$

Поскольку $$-1\le \sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\le 1,$$ то

$$ -\frac12+\frac14\le y\le \frac12+\frac14, $$
$$ -\frac14\le y\le \frac34. $$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-\frac14,$$ а наибольшее — $$\frac34.$$

б) Преобразуем произведение:

$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac12\left[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)-\cos 2x \right]. $$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ то

$$ y=\frac12\left(-\frac12-\cos 2x\right) = -\frac14-\frac12\cos 2x. $$

Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ имеем

$$ -\frac14-\frac12\le y\le -\frac14+\frac12, $$
$$ -\frac34\le y\le \frac14. $$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-\frac34,$$ а наибольшее — $$\frac14.$$

Ответ

а) $$-\frac14,\ \frac34$$;
б) $$-\frac34,\ \frac14$$.