Упр.29.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: a) sin (x+y)/2 cos (x-y)/2 = 1/2, 2sin (x-y)/2 cos (x+y)/2 = 1/3; б) cos (x+y) cos (x-y) = 1/4, sin (x+y) sin (x-y) = 3/4.

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{8}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)<0$$

   Используем формулу произведения синусов:

   $$\sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}$$

   Тогда

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{8}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right) =\frac{\cos 2x-\cos\frac{\pi}{4}}{2}<0 $$

   $$\cos 2x-\frac{\sqrt2}{2}<0$$

   $$\cos 2x<\frac{\sqrt2}{2}$$

   Равенство достигается при

   $$\cos 2x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$2x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Для неравенства получаем

   $$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{7\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\ge 0$$

   Применим формулу произведения:

   $$\sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}$$

   Тогда

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) =\frac{\sin\frac{\pi}{3}+\sin x}{2}\ge 0 $$

   $$\frac{\sqrt3}{2}+\sin x\ge 0$$

   $$\sin x\ge -\frac{\sqrt3}{2}$$

   Равенство достигается при

   $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Решение неравенства:

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\le 0$$

   Используем формулу:

   $$\sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}$$

   Тогда

   $$ \sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right) =\frac{\sin 2x-\sin\frac{5\pi}{6}}{2}\le 0 $$

   $$\sin 2x-\frac12\le 0$$

   $$\sin 2x\le \frac12$$

   Равенство достигается при

   $$\sin 2x=\frac12$$

   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Решение неравенства:

   $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$-\frac{7\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\cos\frac{3x+\pi}{6}\cdot \cos\frac{3x-\pi}{6}>0$$

   Применим формулу произведения косинусов:

   $$\cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}$$

   Тогда

   $$ \cos\frac{3x+\pi}{6}\cdot \cos\frac{3x-\pi}{6} =\frac{\cos x+\cos\frac{\pi}{3}}{2}>0 $$

   $$\cos x+\frac12>0$$

   $$\cos x>-\frac12$$

   Равенство достигается при

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Решение неравенства:

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi}{8}+\pi n,\frac{7\pi}{8}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x\in\left[-\frac{7\pi}{12}+\pi n,\frac{\pi}{12}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$