Упр.29.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) sin (пи/8 + x) sin (пи/8 — x) < 0; б) sin (пи/6 + x/2) cos (пи/6 - x/2) > = 0; в) sin (x — 5пи/12) cos (x + 5пи/12) = < 0; г) cos (3x + пи)/6 cos (3x - пи)/6 > 0
Пусть $$a=\cos 6x,\quad b=\cos 4x,\quad c=\cos 2x.$$
Тогда для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие $$b^2=ac.$$
Получаем:
$$\cos^2 4x=\cos 6x\cdot \cos 2x.$$
Используем формулы:
$$\cos^2 4x=\frac{1+\cos 8x}{2},$$
$$\cos 6x\cdot \cos 2x=\frac{\cos(6x+2x)+\cos(6x-2x)}{2}=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2}.$$
Тогда
$$\frac{1+\cos 8x}{2}=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2}.$$
Умножим на 2:
$$1+\cos 8x=\cos 8x+\cos 4x,$$
откуда
$$\cos 4x=1.$$
Следовательно,
$$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Пусть $$a=\sin 2x,\quad b=\sin 3x,\quad c=\sin 4x.$$
Тогда снова используем условие $$b^2=ac.$$
Имеем:
$$\sin^2 3x=\sin 2x\cdot \sin 4x.$$
Преобразуем:
$$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2},$$
$$\sin 2x\cdot \sin 4x=\frac{\cos(4x-2x)-\cos(4x+2x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}.$$
Тогда
$$\frac{1-\cos 6x}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}.$$
Умножим на 2:
$$1-\cos 6x=\cos 2x-\cos 6x,$$
откуда
$$\cos 2x=1.$$
Следовательно,
$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
