Упр.29.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях х числа а, b, с образуют геометрическую прогрессию, если: a) а = cos 6х, b = cos 4х, с = cos 2х; б) а = sin 2x, b = sin 3х, с = sin 4х?

Числа $$a, b, c$$ образуют геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда $$b^2=ac$$.

а) $$a=\cos 6x,\; b=\cos 4x,\; c=\cos 2x.$$ Тогда

$$\cos^2 4x=\cos 6x\cdot \cos 2x.$$

Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos 6x\cos 2x=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2}.$$

Но удобнее преобразовать условие через формулы двойного угла:

$$\cos 4x=\cos 2\cdot 2x=2\cos^2 2x-1,$$

и после подстановки получаем уравнение

$$\cos 2x\,(2\cos 2x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$

1) Если $$\cos 2x=0,$$ то

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) Если $$\cos 2x=\frac12,$$ то

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

б) $$a=\sin 2x,\; b=\sin 3x,\; c=\sin 4x.$$ Тогда

$$\sin^2 3x=\sin 2x\cdot \sin 4x.$$

Используем формулу произведения синусов:

$$\sin 2x\sin 4x=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2},$$

а также формулу для квадрата синуса:

$$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1-\cos 6x}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2},$$

откуда

$$1=\cos 2x.$$

Следовательно,

$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$