Упр.29.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения: a) sin х sin 3х = 0,5; б) cos х cos 3х = 0,5.

Подробный ответ

а) Используем формулу произведения в сумму:
$$\sin x\sin 3x=\frac{\cos(3x-x)-\cos(3x+x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}.$$
Тогда
$$\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}=\frac12,$$
$$\cos 2x-\cos 4x=1.$$
Положим $$t=\cos 2x.$$ Тогда $$\cos 4x=2t^2-1,$$ и получаем
$$t-(2t^2-1)=1,$$
$$2t^2-t=0,$$
$$t(2t-1)=0.$$
Значит,
$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$
1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$\cos 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Наименьший положительный корень: $$\frac{\pi}{6}.$$
Наибольший отрицательный корень: $$-\frac{\pi}{6}.$$
б) Аналогично:
$$\cos x\cos 3x=\frac{\cos(3x-x)+\cos(3x+x)}{2}=\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}.$$
Тогда
$$\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}=\frac12,$$
$$\cos 2x+\cos 4x=1.$$
Пусть $$t=\cos 2x.$$ Тогда $$\cos 4x=2t^2-1,$$ и
$$t+(2t^2-1)=1,$$
$$2t^2+t-2=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=1+16=17,$$
$$t=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}.$$
Из них подходит только
$$\cos 2x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},$$
так как второе значение меньше $$-1$$.
Тогда
$$2x=\pm \arccos\frac{-1+\sqrt{17}}{4}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac12\arccos\frac{-1+\sqrt{17}}{4}+\pi n.$$
Наименьший положительный корень:
$$\frac12\arccos\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.$$
Наибольший отрицательный корень:
$$-\frac12\arccos\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.$$