Упр.29.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 3х cos х = sin 5x/2 cos 3x/2; б) 2 sin (пи/4 + х) sin (пи/4 — х) + sin2 x = 0; в) sin 2х cos х = sin х cos 2х; г) cos 2х cos х = cos 2,5х cos 1,5х.

1. $$2\sin x\cdot \cos 3x+\sin 4x=0$$

   Используем формулу произведения в сумму:

   $$2\sin x\cos 3x=\sin(4x)-\sin(2x).$$

   Тогда

   $$\sin 4x-\sin 2x+\sin 4x=0,$$

   $$2\sin 4x-\sin 2x=0,$$

   $$4\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0,$$

   $$\sin 2x\,(4\cos 2x-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos 2x-1=0.$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$4\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac14 \Rightarrow 2x=\pm \arccos\frac14+2\pi n,$$

   $$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin\frac{x}{2}\cdot \sin\frac{3x}{2}=\frac12.$$

   По формуле произведения:

   $$2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\cos x-\cos 2x.$$

   Получаем

   $$\cos x-\cos 2x=\frac12.$$

   Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ то

   $$\cos x-(2\cos^2 x-1)=\frac12,$$

   $$2\cos^2 x-\cos x-\frac12=0,$$

   $$4\cos^2 x-2\cos x-1=0.$$

   Решаем квадратное уравнение относительно $$\cos x$$:

   $$\cos x=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{8}=\frac{1\pm\sqrt5}{4}.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \arccos\frac{1+\sqrt5}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\pm \arccos\frac{1-\sqrt5}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin 2x\cos x=\sin x\cos 2x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$\sin 2x\cos x-\sin x\cos 2x=0,$$

   $$2\sin x\cos^2 x-\sin x\cos 2x=0,$$

   $$\sin x\,(2\cos^2 x-\cos 2x)=0.$$

   Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ то

   $$\sin x\cdot 1=0,$$

   $$\sin x=0.$$

   Значит,

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos 2x\cos x=\cos 2{,}5x\cos 1{,}5x.$$

   Используем формулу произведения в сумму:

   $$2\cos 2{,}5x\cos 1{,}5x=\cos 4x+\cos x.$$

   Тогда уравнение можно записать как

   $$2\cos 2x\cos x=\cos 4x+\cos x.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$2\cos 2x\cos x-\cos 4x-\cos x=0.$$

   Далее используем формулу $$2\cos 2x\cos x=\cos 3x+\cos x$$:

   $$\cos 3x+\cos x-\cos 4x-\cos x=0,$$

   $$\cos 3x-\cos 4x=0.$$

   По формуле разности косинусов:

   $$-2\sin\frac{7x}{2}\sin\frac{-x}{2}=0,$$

   $$\sin\frac{7x}{2}\sin\frac{x}{2}=0.$$

   Отсюда

   $$\sin\frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=0.$$

   Получаем:

   $$x=\frac{2\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \arccos\frac{1+\sqrt5}{4}+2\pi n,\ \pm \arccos\frac{1-\sqrt5}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\frac{2\pi n}{7},\ 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$