Упр.29.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 sin х cos 3х + sin 4х = 0; б) sin x/2 sin 3x/2 = 1/2.

а)

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin x\cos 3x=\sin(x+3x)+\sin(x-3x)=\sin 4x+\sin(-2x)=\sin 4x-\sin 2x.$$

Тогда

$$\sin 4x-\sin 2x+\sin 4x=0,$$
$$2\sin 4x-\sin 2x=0.$$

Но удобнее сразу заметить, что

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=2\sin x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x.$$

Вынесем общий множитель:

$$2\sin x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x=0.$$

Используем формулу

$$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,$$

и получаем

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=2\sin x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x.$$

После преобразования исходное уравнение сводится к

$$\cos 2x=1.$$

Тогда

$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac12$$

Применим формулу произведения в сумму:

$$2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right).$$

Удобнее использовать запись через сумму углов:

$$\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac{\cos x-\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos x-\cos 2x}{2}=\frac12,$$
$$\cos x-\cos 2x=1.$$

Решая полученное уравнение, получаем

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Следовательно,

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$