Упр.29.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) cos (x + пи/3) cos (x — пи/3) -0,25 = 0; б) sin (x + пи/3) cos (x — пи/6) = 1.

а) Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3}}{2}.$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

$$\frac{\cos 2x-\frac12}{2}-0{,}25=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$\cos 2x-\frac12-\frac12=0,$$

$$\cos 2x=1.$$

Тогда

$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем левую часть по формуле суммы синуса и косинуса:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Раскроем скобки:

$$\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)\left(\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Удобнее сразу использовать формулу:

$$\sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}.$$

Тогда

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\frac{\pi}{2}}{2}.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{2}=1,$$ имеем

$$\frac{\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1}{2}=1,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Следовательно,

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$