Упр.29.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что cos х = 3/4, вычислите 16sin x/2 sin 3x/2; б) зная, что cos х = -3/5, пи/2 < x < пи, вычислите 125sin x/2 cos 5x/2.

а) Из условия $$\cos x=\frac34.$$ Тогда

$$ \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\left(\frac34\right)^2=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}, $$
$$ \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\frac{9}{16}-\frac{7}{16}=\frac18. $$

Используем формулу

$$ 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B). $$

Тогда

$$ 16\sin\frac x2\sin\frac{3x}2 =8\left(\cos\left(\frac{3x}2-\frac x2\right)-\cos\left(\frac{3x}2+\frac x2\right)\right) =8(\cos x-\cos 2x). $$

$$ 8\left(\frac34-\frac18\right)=8\cdot\frac58=5. $$

б) Из условия $$\cos x=-\frac35,$$ $$\frac{\pi}{2}

$$ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(-\frac35\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45. $$

Найдём $$\sin 2x$$ и $$\sin 3x$$:

$$ \sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac45\cdot\left(-\frac35\right)=-\frac{24}{25}, $$
$$ \sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x =3\cdot\frac45-4\left(\frac45\right)^3 =\frac{12}{5}-\frac{256}{125} =\frac{44}{125}. $$

Используем формулу

$$ 2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B). $$

Тогда

$$ 125\sin\frac x2\cos\frac{5x}2 =\frac{125}{2}\left(\sin 3x-\sin 2x\right). $$

$$ \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125}-\left(-\frac{24}{25}\right)\right) =\frac{125}{2}\left(\frac{44}{125}+\frac{120}{125}\right) =\frac{125}{2}\cdot\frac{164}{125}=82. $$

Ответ

а) $$5$$; б) $$82$$.