Упр.29.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите неравенство: a) sin (x + 2) cos (х — 2) < sin (х + 3) cos (х - 3); б) cos (2х - 3) cos (2х + 3) > sin (1 + 2х) sin (1 — 2х).

а) Преобразуем произведения по формуле

$$\sin A \cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$ \sin(x+2)\cos(x-2)=\frac12(\sin 2x+\sin 4), $$

$$ \sin(x+3)\cos(x-3)=\frac12(\sin 2x+\sin 6). $$

Сравним полученные выражения:

$$ \frac12(\sin 2x+\sin 4)<\frac12(\sin 2x+\sin 6) $$

достаточно доказать, что $$\sin 4<\sin 6.$$

Так как $$\pi<4<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\sin 4<0.$$

А так как $$\frac{3\pi}{2}<6<2\pi,$$ то $$\sin 6>0.$$

Следовательно, $$\sin 4<\sin 6,$$ значит,

$$\sin(x+2)\cos(x-2)<\sin(x+3)\cos(x-3).$$

б) Используем формулу

$$\cos A\cos B=\frac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$ \cos(2x-3)\cos(2x+3)=\frac12(\cos 4x+\cos 6), $$

$$ \sin(1+2x)\sin(1-2x)=\frac12(\cos 4x-\cos 2). $$

Рассмотрим разность:

$$ \cos(2x-3)\cos(2x+3)-\sin(1+2x)\sin(1-2x) $$

$$ =\frac12(\cos 4x+\cos 6)-\frac12(\cos 4x-\cos 2) =\frac12(\cos 6+\cos 2). $$

Осталось показать, что $$\cos 6+\cos 2>0.$$

Так как $$\pi<2<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos 2<0,$$ а так как $$\frac{3\pi}{2}<6<2\pi,$$ то $$\cos 6>0.$$

Следовательно, $$\cos 6+\cos 2>0,$$ значит,

$$\cos(2x-3)\cos(2x+3)>\sin(1+2x)\sin(1-2x).$$

Ответ

а) $$\sin(x+2)\cos(x-2)<\sin(x+3)\cos(x-3);$$ б) $$\cos(2x-3)\cos(2x+3)>\sin(1+2x)\sin(1-2x).$$