Упр.29.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сравните числа: a) а = sin 1 cos 2, b = sin 3 cos 4; б) а — cos 2 cos 4, b = -sin 3,5 sin 2,5.

а) $$a=\sin 1\cdot \cos 2,\qquad b=\sin 3\cdot \cos 4.$$

Используем формулы произведения в сумму:

$$ a=\frac{\sin(1+2)+\sin(1-2)}{2}=\frac{\sin 3-\sin 1}{2}, $$
$$ b=\frac{\sin(3+4)+\sin(3-4)}{2}=\frac{\sin 7-\sin 1}{2}. $$

Тогда

$$ a-b=\frac{\sin 3-\sin 1}{2}-\frac{\sin 7-\sin 1}{2} =\frac{\sin 3-\sin 7}{2}. $$

$$ \sin 3-\sin 7=2\cos 5\cdot \sin(-2)=-2\cos 5\cdot \sin 2, $$
значит
$$ a-b=-\sin 2\cdot \cos 5. $$

Так как $$2$$ и $$5$$ лежат в первой и четвёртой четвертях соответственно, то $$\sin 2>0$$ и $$\cos 5>0$$. Следовательно, $$a-b<0$$, то есть $$a<b$$.

б) $$a=\cos 2\cdot \cos 4,\qquad b=-\sin 3{,}5\cdot \sin 2{,}5.$$

Преобразуем по формулам приведения к сумме:

$$ a=\frac{\cos(2+4)+\cos(2-4)}{2}=\frac{\cos 6+\cos 2}{2}, $$
$$ b=-\frac{\cos(3{,}5-2{,}5)-\cos(3{,}5+2{,}5)}{2} =\frac{\cos 6-\cos 1}{2}. $$

Тогда

$$ a-b=\frac{\cos 6+\cos 2}{2}-\frac{\cos 6-\cos 1}{2} =\frac{\cos 1+\cos 2}{2}. $$

$$ \cos 1+\cos 2=2\cos 1{,}5\cdot \cos 0{,}5, $$
поэтому
$$ a-b=\cos 1{,}5\cdot \cos 0{,}5. $$

Числа $$1{,}5$$ и $$0{,}5$$ лежат в первой четверти, значит $$\cos 1{,}5>0$$ и $$\cos 0{,}5>0$$. Следовательно, $$a-b>0$$, то есть $$a>b$$.

Ответ

а) $$a<b$$; б) $$a>b$$.