Упр.29.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°; б) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°.

Подробный ответ

а)

$$ \cos 10^\circ \cos 30^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ $$

Используем формулу произведения в сумму:
$$ 2\cos 10^\circ \cos 50^\circ=\cos 60^\circ+\cos 40^\circ $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}\cos 70^\circ(\cos 60^\circ+\cos 40^\circ) $$

$$ = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\cos 70^\circ+\cos 70^\circ\cos 40^\circ\right) $$

Снова применим формулу:
$$ 2\cos 70^\circ \cos 40^\circ=\cos 110^\circ+\cos 30^\circ $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\cos 70^\circ+\cos 70^\circ\cos 40^\circ\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}\left(\cos 70^\circ+\cos 110^\circ+\cos 30^\circ\right) $$

Так как $$\cos 110^\circ=-\cos 70^\circ,$$ получаем
$$ \frac{\sqrt{3}}{8}\left(\cos 70^\circ+\cos 110^\circ+\cos 30^\circ\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16}. $$

б)

$$ \sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{2}\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ $$

Используем формулу:
$$ 2\sin 10^\circ \sin 50^\circ=\cos 40^\circ-\cos 60^\circ $$
Тогда
$$ \frac{1}{2}\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{4}\sin 70^\circ(\cos 40^\circ-\cos 60^\circ) $$

$$ = \frac{1}{4}\left(\sin 70^\circ\cos 40^\circ-\frac{1}{2}\sin 70^\circ\right) $$

Снова применим формулу:
$$ 2\sin 70^\circ \cos 40^\circ=\sin 110^\circ+\sin 30^\circ $$
Тогда
$$ \frac{1}{4}\left(\sin 70^\circ\cos 40^\circ-\frac{1}{2}\sin 70^\circ\right) = \frac{1}{8}\left(\sin 110^\circ+\sin 30^\circ-\sin 110^\circ\right) $$

$$ = \frac{1}{8}\sin 30^\circ = \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}. $$