Упр.29.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1/2sin 10° — 2sin 70°; б) tg 60°/ sin 40° + 4cos 100°.

1. а)

   $$\frac{1}{2\sin 10^\circ}-2\sin 70^\circ =\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}.$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$2\sin 70^\circ\sin 10^\circ=\cos(70^\circ-10^\circ)-\cos(70^\circ+10^\circ).$$

   Тогда
   $$ 1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ =1-2\bigl(\cos 60^\circ-\cos 80^\circ\bigr) =1-2\cdot \frac12+2\cos 80^\circ. $$

   Так как $$\cos 80^\circ=\sin 10^\circ,$$ получаем
   $$ \frac{1-2\cdot \frac12+2\cos 80^\circ}{2\sin 10^\circ} =\frac{2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=1. $$

2. б)

   $$ \frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ =\frac{\sqrt3}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{\sqrt3+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}. $$

   Используем формулу:
   $$ 2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b). $$
   Тогда
   $$ 4\sin 40^\circ\cos 100^\circ =2\bigl(\sin 140^\circ+\sin(-60^\circ)\bigr) =2\sin 140^\circ-2\sin 60^\circ. $$

   Так как $$\sin 140^\circ=\sin 40^\circ$$ и $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$ то
   $$ \frac{\sqrt3+2\sin 140^\circ-2\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} =\frac{\sqrt3+2\sin 40^\circ-\sqrt3}{\sin 40^\circ} =\frac{2\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}=2. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$2$$.